미적분 예제

$f (x) = {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

단계 1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 4 x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x + 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

단계 1.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $4 x + 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $4 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

단계 3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 + \frac{d}{d x} [3])$

단계 4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 + 0)$

단계 4.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \cdot 4$

단계 5

항을 묶습니다.

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단계 5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \cdot 4$

단계 5.2

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \cdot 4$

단계 5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \cdot 4$

단계 5.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \cdot 4$

단계 5.4.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \cdot 4$

단계 5.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4$

단계 5.6

$\frac{1}{2}$ 와 ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 4$

단계 5.7

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4}{2}$

단계 5.8

${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot {(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 5.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{4}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.10

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.11

공약수로 약분합니다.

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단계 5.11.1

$2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 5.11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$