미적분 예제

${(- 3 + 2 x^{4})}^{- 2}$

단계 1

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = - 3 + 2 x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 3 + 2 x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 3 + 2 x^{4}]$

단계 1.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 + 2 x^{4}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $- 3 + 2 x^{4}$ 로 바꿉니다.

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 + 2 x^{4}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 3 + 2 x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ 가 됩니다.

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

단계 2.2

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

단계 3

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{4}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (0 + 2 (4 x^{3}))$

단계 3.3

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (0 + 8 x^{3})$

단계 4

$0$ 를 $8 x^{3}$ 에 더합니다.

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (8 x^{3})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{1}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} (8 x^{3})$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} (8 x^{3})$

단계 5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} (8 x^{3})$

단계 5.2.3

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 8 \frac{2}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} x^{3}$

단계 5.2.4

$- 8$ 와 $\frac{2}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 8 \cdot 2}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} x^{3}$

단계 5.2.5

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 16}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} x^{3}$

단계 5.2.6

$\frac{- 16}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 16 x^{3}}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}}$

단계 5.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{16 x^{3}}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}}$