미적분 예제

${({(x^{2} + 3)}^{5} + x)}^{2}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{5} + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(x^{2} + 3)}^{5} + x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5} + x]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5} + x]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(x^{2} + 3)}^{5} + x$ 로 바꿉니다.

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5} + x]$

단계 2

합의 법칙에 의해 ${(x^{2} + 3)}^{5} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = x^{2} + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2} + 3$ 로 바꿉니다.

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.1.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2} + 3$ 로 바꿉니다.

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (5 {(x^{2} + 3)}^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.6

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (10 {(x^{2} + 3)}^{4} x + 1)$

단계 4.2

항을 다시 정렬합니다.

$2 ({(x^{2} + 3)}^{5} + x) (10 x {(x^{2} + 3)}^{4} + 1)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 {(x^{2} + 3)}^{5} + 2 x) (10 x {(x^{2} + 3)}^{4} + 1)$

단계 5.2

$(2 {(x^{2} + 3)}^{5} + 2 x) (10 x {(x^{2} + 3)}^{4} + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(10 x {(x^{2} + 3)}^{4} + 1) (2 {(x^{2} + 3)}^{5} + 2 x)$