미적분 예제

$\frac{225 + 10 x}{1 + 0.05 x}$

단계 1

먼저 $u = 1 + 0.05 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 0.05 d x$ 이므로 $\frac{1}{0.05} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = 1 + 0.05 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

다시 씁니다.

$\frac{0.05}{1}$

단계 1.1.2

$0.05$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0.05$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{4500 + 200 (20 u - 20)}{u} d u$

단계 2

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int \frac{4500}{u} + \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{4500}{u} d u + \int \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

단계 4

$4500$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $4500$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4500 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

단계 5

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$4500 (\ln (| u |) + C) + \int \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

단계 6

$200$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $200$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 \int \frac{20 u - 20}{u} d u$

단계 7

$20 u - 20$ 을 $u$ 로 나눕니다.

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단계 7.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$u$

$0$

$20 u$

$20$

단계 7.2

피제수 $20 u$ 의 고차항을 제수 $u$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$20$
	$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$

단계 7.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$20$
$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$
			+	$20 u$	+	$0$

단계 7.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $20 u + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$20$
$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$
			-	$20 u$	-	$0$

단계 7.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$20$
$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$
			-	$20 u$	-	$0$
					-	$20$

단계 7.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 \int 20 - \frac{20}{u} d u$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (\int 20 d u + \int - \frac{20}{u} d u)$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C + \int - \frac{20}{u} d u)$

단계 10

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - \int \frac{20}{u} d u)$

단계 11

$20$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $20$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - (20 \int \frac{1}{u} d u))$

단계 12

$20$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - 20 \int \frac{1}{u} d u)$

단계 13

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - 20 (\ln (| u |) + C))$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

간단히 합니다.

$4500 \ln (| u |) + 4000 u - 4000 \ln (| u |) + C$

단계 14.2

$4500 \ln (| u |)$ 에서 $4000 \ln (| u |)$ 을 뺍니다.

$4000 u + 500 \ln (| u |) + C$

단계 15

$u$ 를 모두 $1 + 0.05 x$ 로 바꿉니다.

$4000 (1 + 0.05 x) + 500 \ln (| 1 + 0.05 x |) + C$