미적분 예제

$y = \sqrt{2 - x}$ , $x = 1$

단계 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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단계 1.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$y = \sqrt{2 - (1)}$

단계 1.2

$\sqrt{2 - (1)}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \sqrt{2 - 1}$

단계 1.2.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$y = \sqrt{1}$

단계 1.2.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$y = 1$

단계 2

1차 도함수를 구하고 $x = 1$ , $y = 1$ 에서의 값을 계산하여 접선의 기울기를 구합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 - x}$ 을(를) ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 2 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $2 - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 2.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 2.7

분수를 통분합니다.

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단계 2.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 2.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 2.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

단계 2.8

합의 법칙에 의해 $2 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.9

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.10

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.11

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

단계 2.13

분수를 통분합니다.

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단계 2.13.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

단계 2.13.2

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{- 1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.13.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.14

$x = 1$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{2 {(2 - (1))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.15

간단히 합니다.

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단계 2.15.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.15.1.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 {(2 - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.15.1.2

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.15.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{1}{2 \cdot 1}$

단계 2.15.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2}$

단계 3

기울기 및 점 값을 점-기울기 공식에 대입하고 $y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

기울기 $- \frac{1}{2}$ 과 주어진 점 $(1, 1)$ 을 사용해 점-기울기 형태 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 의 $x_{1}$ 및 $y_{1}$ 에 대입합니다. 점-기울기 형태는 기울기 방정식 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 에서 유도한 식입니다.

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

단계 3.2

방정식을 간단히 하고 점-기울기 형태를 유지합니다.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

단계 3.3

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

$- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

다시 씁니다.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

단계 3.3.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

단계 3.3.1.4

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

단계 3.3.1.5

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

단계 3.3.1.5.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

단계 3.3.2

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 3.3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 1$

단계 3.3.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

단계 3.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 2}{2}$

단계 3.3.2.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

단계 3.3.3

$y = m x + b$ 형태로 씁니다.

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단계 3.3.3.1

항을 다시 정렬합니다.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{3}{2}$

단계 3.3.3.2

괄호를 제거합니다.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$

단계 4