미적분 예제

$f (x) = \sqrt{1 - x}$ , $a = 0$

단계 1

$a$ 를 지나는 일차 함수식을 세웁니다.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

단계 2

선형 함수에 $a = 0$ 값을 대입합니다.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

단계 3

$f (0)$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \sqrt{1 - (0)}$

단계 3.2

$\sqrt{1 - (0)}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

괄호를 제거합니다.

$\sqrt{1 - (0)}$

단계 3.2.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\sqrt{1 + 0}$

단계 3.2.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\sqrt{1}$

단계 3.2.4

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$1$

단계 4

도함수를 구하고 $0$ 에서의 값을 계산합니다.

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단계 4.1

$f (x) = \sqrt{1 - x}$ 의 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 - x}$ 을(를) ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 1 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 4.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 4.1.2.3

$u$ 를 모두 $1 - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 4.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 4.1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 4.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 4.1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 4.1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 4.1.7

분수를 통분합니다.

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단계 4.1.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 4.1.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 4.1.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

단계 4.1.8

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 4.1.9

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 4.1.10

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.11

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.1.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

단계 4.1.13

분수를 통분합니다.

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단계 4.1.13.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

단계 4.1.13.2

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.1.13.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.2

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$- \frac{1}{2 {(1 - (0))}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.3

간단히 합니다.

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단계 4.3.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

$1$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.3.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{1}{2 \cdot 1}$

단계 4.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2}$

단계 5

해당 값들을 선형화 함수에 대입하여 $a$ 에서 선형화한 식을 구합니다.

$L (x) = 1 - \frac{1}{2} (x - 0)$

단계 6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$x$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$L (x) = 1 - \frac{1}{2} x$

단계 6.2

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$L (x) = 1 - \frac{x}{2}$

단계 7