미적분 예제

$\sec^{3} (2 x)$

단계 1

$\sec^{3} (2 x)$ 에서 $\sec (2 x)$ 를 인수분해합니다.

$\int \sec (2 x) \sec^{2} (2 x) d x$

단계 2

$u = \sec (2 x)$ 이고 $d v = \sec^{2} (2 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\sec (2 x) (\frac{1}{2} \tan (2 x)) - \int \frac{1}{2} \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) d x$

단계 3

$\frac{1}{2} \cdot 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2} \cdot 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\sec (2 x) (\frac{1}{2} \tan (2 x)) - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

단계 4

분수를 통분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\tan (2 x)$ 을 묶습니다.

$\sec (2 x) \frac{\tan (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

단계 4.2

$\sec (2 x)$ 와 $\frac{\tan (2 x)}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

단계 4.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

단계 5

$\tan (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) \sec (2 x) d x)$

단계 6

$\tan (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) \sec (2 x) d x)$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) d x)$

단계 8

식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) d x)$

단계 8.2

$\tan^{2} (2 x)$ 와 $\sec (2 x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sec (2 x) \tan^{2} (2 x) d x)$

단계 9

$u = \sec (2 x)$ 이고 $d v = \tan^{2} (2 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) - \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) d x))$

단계 10

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) - (2 \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

단계 11

항을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\tan (2 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - (2 \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

단계 11.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\tan (2 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - (2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

단계 11.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x))$

단계 11.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})) - \frac{2}{2} (- 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x)$

단계 11.5

$\sec (2 x)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - \frac{2}{2} (- 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x)$

단계 11.6

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + 2 (\frac{2}{2}) \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

단계 11.7

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2} \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

단계 11.8

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + \frac{4}{2} \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

단계 12

$\int \sec^{3} (2 x) d x$ 을 풀면 $\int \sec^{3} (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}}$ 입니다.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

단계 13

답을 간단히 합니다.

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단계 13.1

간단히 합니다.

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단계 13.1.1

$\sec (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2 \cdot \sec (2 x)}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

단계 13.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2 \sec (2 x)}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

단계 13.1.2.2

$\sec (2 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

단계 13.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot \frac{2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

단계 13.1.4

$- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} + \frac{- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot 2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

단계 13.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot 2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

단계 13.1.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

단계 13.1.7

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.1.7.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + C$

단계 13.1.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 13.1.7.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + C$

단계 13.1.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + C$

단계 13.1.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{- 1}{1}} + C$

단계 13.1.7.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{- 1} + C$

단계 13.1.8

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$- 1 \cdot \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$

단계 13.1.9

$- 1 \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}$ 을 $- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$

단계 13.2

$- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$ 을 $- \frac{\sec (2 x) \cdot 2 x}{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{\sec (2 x) \cdot 2 x}{2} + C$

단계 13.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.1

$\sec (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{2 \cdot \sec (2 x) x}{2} + C$

단계 13.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2 \sec (2 x) x}{2} + C$

단계 13.3.2.2

$\sec (2 x) x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (\sec (2 x) x) + C$

$- \sec (2 x) x + C$