미적분 예제

$3 e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

단계 2

먼저 $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 15 e^{- 3 x} d x$ 이므로 $- \frac{1}{15} d u_{2} = e^{- 3 x} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$7 + 5 e^{- 3 x}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [7 + 5 e^{- 3 x}]$

단계 2.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $7 + 5 e^{- 3 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

단계 2.1.2.2

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 e^{- 3 x}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ 입니다.

$0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

단계 2.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$0 + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 2.1.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 2.1.3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$0 + 5 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 2.1.3.3

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1))$

단계 2.1.3.5

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 5 (e^{- 3 x} \cdot - 3)$

단계 2.1.3.6

$e^{- 3 x}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$0 + 5 (- 3 \cdot e^{- 3 x})$

단계 2.1.3.7

$- 3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$0 - 15 e^{- 3 x}$

단계 2.1.4

$0$ 에서 $15 e^{- 3 x}$ 을 뺍니다.

$- 15 e^{- 3 x}$

단계 2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$3 \int {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 15} d u_{2}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 \int {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{15}) d u_{2}$

단계 3.2

${u_{2}}^{2}$ 와 $\frac{1}{15}$ 을 묶습니다.

$3 \int - \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

단계 4

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (- \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2})$

단계 5

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

단계 6

$\frac{1}{15}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{15}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 3 (\frac{1}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{15}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

단계 7.2

$- 3$ 및 $15$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 1)}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

단계 7.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.2.1

$15$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

단계 7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

단계 7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

단계 7.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

단계 8

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ 을 $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3 \cdot 5} {u_{2}}^{3} + C$

단계 9.2.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{15} {u_{2}}^{3} + C$

단계 10

$u_{2}$ 를 모두 $7 + 5 e^{- 3 x}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{15} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{3} + C$