미적분 예제

$4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

단계 2

먼저 $u = 3 x^{4} + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 12 x^{3} d x$ 이므로 $\frac{1}{12} d u = x^{3} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 3 x^{4} + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$3 x^{4} + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} + 3]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.1.3.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.4.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$12 x^{3} + 0$

단계 2.1.4.2

$12 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12 x^{3}$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$4 \int u^{9} \frac{1}{12} d u$

단계 3

$u^{9}$ 와 $\frac{1}{12}$ 을 묶습니다.

$4 \int \frac{u^{9}}{12} d u$

단계 4

$\frac{1}{12}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{12}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{1}{12} \int u^{9} d u)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{12}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{12} \int u^{9} d u$

단계 5.2

$4$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (1)}{12} \int u^{9} d u$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

단계 5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \int u^{9} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{9}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{10} u^{10}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$ 을 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{10}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 \cdot 10} u^{10} + C$

단계 7.2.2

$3$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{30} u^{10} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $3 x^{4} + 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$