미적분 예제

$5 \sqrt{x^{2} + 6}$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int \sqrt{x^{2} + 6} d x$

단계 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \sqrt{6} \tan (t)$ 라고 하면 $d x = \sec^{2} (t) \sqrt{6} d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\sec^{2} (t) \sqrt{6}$ 는 양수입니다.

$5 \int \sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$\sqrt{6} \tan (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$5 \int \sqrt{{\sqrt{6}}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.1.2

${\sqrt{6}}^{2}$ 을 $6$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{6}$ 을(를) $6^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$5 \int \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.1.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 \int \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.1.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.1.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.1.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$5 \int \sqrt{6^{1} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.1.2.5

지수값을 계산합니다.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.1.3

${\sqrt{6}}^{2}$ 을 $6$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{6}$ 을(를) $6^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.1.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.1.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.1.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.1.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{1}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.1.3.5

지수값을 계산합니다.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.2

$6 \tan^{2} (t) + 6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$6 \tan^{2} (t)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.2.2

$6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.2.3

$6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t) + 1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.3

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$5 \int \sqrt{6 \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.4

$6$ 와 $\sec^{2} (t)$ 을 다시 정렬합니다.

$5 \int \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$5 \int \sec (t) \sqrt{6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 \int \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

단계 3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 \int {\sec (t)}^{2 + 1} \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

단계 3.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 \int \sec^{3} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

단계 3.2.4

$\sqrt{6}$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) d t$

단계 3.2.5

$\sqrt{6}$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) d t$

단계 3.2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{1 + 1} d t$

단계 3.2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{2} d t$

단계 3.2.8

${\sqrt{6}}^{2}$ 을 $6$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{6}$ 을(를) $6^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$5 \int \sec^{3} (t) {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

단계 3.2.8.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

단계 3.2.8.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

단계 3.2.8.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.4.1

공약수로 약분합니다.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

단계 3.2.8.4.2

수식을 다시 씁니다.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{1} d t$

단계 3.2.8.5

지수값을 계산합니다.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6 d t$

단계 3.2.9

$\sec^{3} (t)$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$5 \int 6 \sec^{3} (t) d t$

단계 4

$6$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (6 \int \sec^{3} (t) d t)$

단계 5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$6$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$30 \int \sec^{3} (t) d t$

단계 5.2

$\sec^{3} (t)$ 에서 $\sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$30 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

단계 6

$u = \sec (t)$ 이고 $d v = \sec^{2} (t)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

단계 7

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

단계 8

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

단계 9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

단계 10

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

단계 10.2

$\tan^{2} (t)$ 와 $\sec (t)$ 을 다시 정렬합니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

단계 11

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

단계 12

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

단계 12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

단계 12.3

$\sec (t)$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

단계 13

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

단계 14

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

단계 15

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

단계 16

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

단계 17

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

단계 18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

단계 19

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

단계 20

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

단계 21

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

단계 22

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 입니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

단계 23

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.1

분배 법칙을 적용합니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

단계 23.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$30 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

단계 24

$\int \sec^{3} (t) d t$ 을 풀면 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ 입니다.

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

단계 25

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

단계 26

간단히 합니다.

$30 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 27

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.1

$30$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{30}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 27.2

$30$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.1

$30$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 15}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 27.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 27.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 27.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 27.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{15}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 27.2.2.4

$15$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$15 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 28

$t$ 를 모두 $\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})$ 로 바꿉니다.

$15 (\sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) |)) + C$

단계 29

항을 다시 정렬합니다.

$15 (\sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) |)) + C$