미적분 예제

$\frac{x - z}{y + z}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$x - z$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{x - z}{y + z}$ 의 미분은 $(x - z) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y + z}]$ 입니다.

$(x - z) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y + z}]$

단계 1.2

$\frac{1}{y + z}$ 을 ${(y + z)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - z) \frac{d}{d y} [{(y + z)}^{- 1}]$

단계 2

$f (y) = y^{- 1}$ , $g (y) = y + z$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y + z$ 로 바꿉니다.

$(x - z) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y + z])$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - z) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y + z])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $y + z$ 로 바꿉니다.

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y + z])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $y + z$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ 가 됩니다.

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]))$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d y} [z]))$

단계 3.3

$z$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $z$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $z$ 입니다.

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (1 + 0))$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} \cdot 1)$

단계 3.4.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2})$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$(x - z) (- \frac{1}{{(y + z)}^{2}})$

단계 4.2

$(x - z) (- \frac{1}{{(y + z)}^{2}})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (x - z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(- x - - z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

단계 4.4

$- - z$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(- x + 1 z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

단계 4.4.2

$z$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(- x + z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

단계 4.5

$- x + z$ 에 $\frac{1}{{(y + z)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- x + z}{{(y + z)}^{2}}$

단계 4.6

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x) + z}{{(y + z)}^{2}}$

단계 4.7

$z$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x) - 1 (- z)}{{(y + z)}^{2}}$

단계 4.8

$- (x) - 1 (- z)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x - z)}{{(y + z)}^{2}}$

단계 4.9

$- (x - z)$ 을 $- 1 (x - z)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x - z)}{{(y + z)}^{2}}$

단계 4.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x - z}{{(y + z)}^{2}}$