미적분 예제

${(\frac{1}{y^{9}})}^{6}$

단계 1

$f (y) = y^{6}$ , $g (y) = \frac{1}{y^{9}}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{y^{9}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

단계 1.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 u^{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{y^{9}}$ 로 바꿉니다.

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

단계 2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{y^{9}}$ 을 ${(y^{9})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{9})}^{- 1}]$

단계 2.2

${(y^{9})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [y^{9 \cdot - 1}]$

단계 2.2.2

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [y^{- 9}]$

단계 2.3

$n = - 9$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} (- 9 y^{- 10})$

단계 2.4

$- 9$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 54 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} y^{- 10}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 54 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{1}{y^{10}}$

단계 3.2

$\frac{1}{y^{9}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 54 \frac{1^{5}}{{(y^{9})}^{5}} \frac{1}{y^{10}}$

단계 3.3

항을 묶습니다.

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단계 3.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 54 \frac{1}{{(y^{9})}^{5}} \frac{1}{y^{10}}$

단계 3.3.2

${(y^{9})}^{5}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 54 \frac{1}{y^{9 \cdot 5}} \frac{1}{y^{10}}$

단계 3.3.2.2

$9$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 54 \frac{1}{y^{45}} \frac{1}{y^{10}}$

단계 3.3.3

$- 54$ 와 $\frac{1}{y^{45}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 54}{y^{45}} \cdot \frac{1}{y^{10}}$

단계 3.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{54}{y^{45}} \cdot \frac{1}{y^{10}}$

단계 3.3.5

$\frac{1}{y^{10}}$ 에 $\frac{54}{y^{45}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{54}{y^{10} y^{45}}$

단계 3.3.6

지수를 더하여 $y^{10}$ 에 $y^{45}$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.6.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{54}{y^{10 + 45}}$

단계 3.3.6.2

$10$ 를 $45$ 에 더합니다.

$- \frac{54}{y^{55}}$