미적분 예제

${(\frac{e^{y} - e^{- y}}{2})}^{2}$

단계 1

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ 로 바꿉니다.

$2 \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$2$ 와 $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

단계 2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

단계 2.2.2

$e^{y} - e^{- y}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

단계 2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}]$ 입니다.

$(e^{y} - e^{- y}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}])$

단계 2.4

합의 법칙에 의해 $e^{y} - e^{- y}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ 가 됩니다.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ 은 $a^{y} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

단계 4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- e^{- y}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ 입니다.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - \frac{d}{d y} [e^{- y}])$

단계 5

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = - y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- y$ 로 바꿉니다.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y]))$

단계 5.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y]))$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $- y$ 로 바꿉니다.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]))$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

단계 6.2

곱합니다.

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단계 6.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + 1 e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

단계 6.2.2

$e^{- y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

단계 6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \cdot 1)$

단계 6.4

$e^{- y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(e^{y} \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

단계 7.2

항을 묶습니다.

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단계 7.2.1

$e^{y}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$(\frac{e^{y}}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

단계 7.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{- y}$ 을 묶습니다.

$(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

단계 7.3

$(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$ 를 전개합니다.

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단계 7.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.5.1.1

$e^{y} \frac{e^{y}}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.1.1.1

$e^{y}$ 와 $\frac{e^{y}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{y} e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.5.1.1.2

지수를 더하여 $e^{y}$ 에 $e^{y}$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.1.1.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{y + y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.5.1.1.2.2

$y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.5.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} - e^{y} \frac{e^{- y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.5.1.3

$- e^{y} \frac{e^{- y}}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.1.3.1

$\frac{e^{- y}}{2}$ 와 $e^{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.5.1.3.2

지수를 더하여 $e^{- y}$ 에 $e^{y}$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.1.3.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.5.1.3.2.2

$- y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.5.1.3.3

$e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.5.1.4

$e^{- y} \frac{e^{y}}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.1.4.1

$e^{- y}$ 와 $\frac{e^{y}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.5.1.4.2

지수를 더하여 $e^{- y}$ 에 $e^{y}$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.1.4.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.5.1.4.2.2

$- y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.5.1.4.3

$e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

단계 7.5.1.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$

단계 7.5.1.6

$- e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.1.6.1

$\frac{e^{- y}}{2}$ 와 $e^{- y}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y} e^{- y}}{2}$

단계 7.5.1.6.2

지수를 더하여 $e^{- y}$ 에 $e^{- y}$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.1.6.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y - y}}{2}$

단계 7.5.1.6.2.2

$- y$ 에서 $y$ 을 뺍니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

단계 7.5.2

$- \frac{1}{2}$ 를 $\frac{1}{2}$ 에 더합니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} + 0 - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

단계 7.5.3

$\frac{e^{2 y}}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$