미적분 예제

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(y + x)}^{2}}$

단계 1

$f (y) = y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ , $g (y) = {(y + x)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 는 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{({(y + x)}^{2})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

${({(y + x)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{2 \cdot 2}}$

단계 2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{{(y + x)}^{2} (\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

단계 2.3

$e^{x}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $y e^{x}$ 의 미분은 $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

단계 2.5

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

단계 2.6

$x e^{x}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x e^{x}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x e^{x}$ 입니다.

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

단계 2.7

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

단계 2.8

$- e^{x}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $- e^{x}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $- e^{x}$ 입니다.

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

단계 2.9

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

단계 3

$f (y) = y^{2}$ , $g (y) = y + x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y + x$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 u \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $y + x$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 (y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

단계 4

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

단계 4.2

${(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ 에서 $y + x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.2.1

${(y + x)}^{2} e^{x}$ 에서 $y + x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

단계 4.2.2

$- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ 에서 $y + x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

단계 4.2.3

$(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))$ 에서 $y + x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

단계 5

공약수로 약분합니다.

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단계 5.1

${(y + x)}^{4}$ 에서 $y + x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

단계 5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

단계 5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{3}}$

단계 6

합의 법칙에 의해 $y + x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

단계 7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

단계 8

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + 0)}{{(y + x)}^{3}}$

단계 9

식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \cdot 1}{{(y + x)}^{3}}$

단계 9.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

단계 10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x}) - 2 (x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

단계 10.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.3.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 y e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

단계 10.3.2

$y e^{x}$ 에서 $2 y e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{- y e^{x} + x e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

단계 10.3.3

$x e^{x}$ 에서 $2 x e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{- y e^{x} - x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

단계 10.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

단계 10.5

$- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 10.5.1

$- e^{x} y$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (- y) - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

단계 10.5.2

$- e^{x} x$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

단계 10.5.3

$2 e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

단계 10.5.4

$e^{x} (- y) + e^{x} (- x)$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

단계 10.5.5

$e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (- y - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

단계 10.6

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (- (y) - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

단계 10.7

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (- (y) - (x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

단계 10.8

$- (y) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (- (y + x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

단계 10.9

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{x} (- (y + x) - 1 (- 2))}{{(x + y)}^{3}}$

단계 10.10

$- (y + x) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (- (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

단계 10.11

$- (y + x - 2)$ 을 $- 1 (y + x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{x} (- 1 (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

단계 10.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{e^{x} (y + x - 2)}{{(x + y)}^{3}}$