미적분 예제

$y = x {(x^{4} + 7)}^{3}$

단계 1

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{4} + 7)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 7)}^{3}] + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{4} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4} + 7$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{4} + 7$ 로 바꿉니다.

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3} + 0)) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3})) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x (12 {(x^{4} + 7)}^{2} x^{3}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{3} x^{1} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{3 + 1} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 6

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \cdot 1$

단계 8

${(x^{4} + 7)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3}$ 에서 ${(x^{4} + 7)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.1.1

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2})$ 에서 ${(x^{4} + 7)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{3}$

단계 9.1.2

${(x^{4} + 7)}^{3}$ 에서 ${(x^{4} + 7)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} + 7)$

단계 9.1.3

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} + 7)$ 에서 ${(x^{4} + 7)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12) + x^{4} + 7)$

단계 9.2

항을 묶습니다.

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단계 9.2.1

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $12$ 이동하기

${(x^{4} + 7)}^{2} (12 \cdot x^{4} + x^{4} + 7)$

단계 9.2.2

$12 x^{4}$ 를 $x^{4}$ 에 더합니다.

${(x^{4} + 7)}^{2} (13 x^{4} + 7)$

단계 9.3

${(x^{4} + 7)}^{2}$ 을 $(x^{4} + 7) (x^{4} + 7)$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{4} + 7) (x^{4} + 7) (13 x^{4} + 7)$

단계 9.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{4} + 7) (x^{4} + 7)$ 를 전개합니다.

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단계 9.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{4} (x^{4} + 7) + 7 (x^{4} + 7)) (13 x^{4} + 7)$

단계 9.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 7 + 7 (x^{4} + 7)) (13 x^{4} + 7)$

단계 9.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

단계 9.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 9.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.5.1.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 9.5.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(x^{4 + 4} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

단계 9.5.1.1.2

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$(x^{8} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

단계 9.5.1.2

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$(x^{8} + 7 \cdot x^{4} + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

단계 9.5.1.3

$7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$(x^{8} + 7 x^{4} + 7 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$

단계 9.5.2

$7 x^{4}$ 를 $7 x^{4}$ 에 더합니다.

$(x^{8} + 14 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$

단계 9.6

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{8} + 14 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$ 를 전개합니다.

$x^{8} (13 x^{4}) + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

단계 9.7

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.7.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$13 x^{8} x^{4} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

단계 9.7.2

지수를 더하여 $x^{8}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 9.7.2.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$13 (x^{4} x^{8}) + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

단계 9.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$13 x^{4 + 8} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

단계 9.7.2.3

$4$ 를 $8$ 에 더합니다.

$13 x^{12} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

단계 9.7.3

$x^{8}$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$13 x^{12} + 7 \cdot x^{8} + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

단계 9.7.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{4} x^{4} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

단계 9.7.5

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 9.7.5.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 (x^{4} x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

단계 9.7.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{4 + 4} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

단계 9.7.5.3

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{8} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

단계 9.7.6

$14$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

단계 9.7.7

$7$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

단계 9.7.8

$13$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 49 \cdot 7$

단계 9.7.9

$49$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 343$

단계 9.8

$7 x^{8}$ 를 $182 x^{8}$ 에 더합니다.

$13 x^{12} + 189 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 343$

단계 9.9

$98 x^{4}$ 를 $637 x^{4}$ 에 더합니다.

$13 x^{12} + 189 x^{8} + 735 x^{4} + 343$