미적분 예제

$y = x (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6)$

단계 1

$f (x) = x$ , $g (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 3 x^{2} - 6] + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.4

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.5

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$x (12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.7

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x (12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.8

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$x (12 x^{2} + 6 x + 0) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.9

$12 x^{2} + 6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x (12 x^{2} + 6 x) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (12 x^{2} + 6 x) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \cdot 1$

단계 2.11

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (12 x^{2} + 6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x (12 x^{2}) + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

단계 3.2

항을 묶습니다.

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단계 3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 (x^{1} x^{2}) + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

단계 3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x^{1 + 2} + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

단계 3.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$12 x^{3} + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

단계 3.2.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 x^{3} + 6 (x^{1} x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

단계 3.2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 x^{3} + 6 (x^{1} x^{1}) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

단계 3.2.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x^{3} + 6 x^{1 + 1} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

단계 3.2.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$12 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

단계 3.2.8

$12 x^{3}$ 를 $4 x^{3}$ 에 더합니다.

$16 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{2} - 6$

단계 3.2.9

$6 x^{2}$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$16 x^{3} + 9 x^{2} - 6$