미적분 예제

$\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$7 x^{2}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ 의 미분은 $7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$ 입니다.

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$

단계 1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ 을 ${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}]$

단계 1.2.2

${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{2 \cdot - 1}]$

단계 1.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{- 2}]$

단계 2

$f (y) = y^{- 2}$ , $g (y) = 7 x + 13 y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $7 x + 13 y$ 로 바꿉니다.

$7 x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

단계 2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 x^{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $7 x + 13 y$ 로 바꿉니다.

$7 x^{2} (- 2 {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $7 x + 13 y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]$ 가 됩니다.

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]))$

단계 3.3

$7 x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $7 x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $7 x$ 입니다.

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d y} [13 y]))$

단계 3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [13 y]$ 에 더합니다.

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [13 y])$

단계 3.5

$13$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $13 y$ 의 미분은 $13 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (13 \frac{d}{d y} [y]))$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ 의 왼쪽으로 $13$ 이동하기

$- 14 x^{2} (13 \cdot {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

단계 3.6.2

$13$ 에 $- 14$ 을 곱합니다.

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \cdot 1)$

단계 3.8

${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 182 x^{2} {(7 x + 13 y)}^{- 3}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 182 x^{2} \frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$- 182$ 와 $\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$x^{2} \frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

단계 4.2.2

$x^{2}$ 와 $\frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \cdot - 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

단계 4.2.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 182$ 이동하기

$\frac{- 182 \cdot x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

단계 4.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{182 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$