미적분 예제

$x^{5} + z \sin (x y z)$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $x^{5} + z \sin (x y z)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$

단계 1.2

$x^{5}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{5}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{5}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$

단계 2

$\frac{d}{d y} [z \sin (x y z)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$z$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $z \sin (x y z)$ 의 미분은 $z \frac{d}{d y} [\sin (x y z)]$ 입니다.

$0 + z \frac{d}{d y} [\sin (x y z)]$

단계 2.2

$f (y) = \sin (y)$ , $g (y) = x y z$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y z$ 로 바꿉니다.

$0 + z (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x y z])$

단계 2.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$0 + z (\cos (u) \frac{d}{d y} [x y z])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x y z$ 로 바꿉니다.

$0 + z (\cos (x y z) \frac{d}{d y} [x y z])$

단계 2.3

$x z$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y z$ 의 미분은 $x z \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$0 + z (\cos (x y z) (x z \frac{d}{d y} [y]))$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + z (\cos (x y z) (x z \cdot 1))$

단계 2.5

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + z (\cos (x y z) (x z))$

단계 2.6

$z$ 를 $1$ 승 합니다.

$0 + z^{1} z (\cos (x y z) (x))$

단계 2.7

$z$ 를 $1$ 승 합니다.

$0 + z^{1} z^{1} (\cos (x y z) (x))$

단계 2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$0 + z^{1 + 1} (\cos (x y z) (x))$

단계 2.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$0 + z^{2} (\cos (x y z) (x))$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$0$ 를 $z^{2} (\cos (x y z) (x))$ 에 더합니다.

$z^{2} (\cos (x y z) (x))$

단계 3.2

$z^{2} (\cos (x y z) (x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$z^{2} x \cos (x y z)$