미적분 예제

$\frac{x - y}{x + y}$

단계 1

$f (y) = x - y$ , $g (y) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 는 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x - y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 2.2

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{(x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [- y]$ 에 더합니다.

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [- y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 2.4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{(x + y) (- \frac{d}{d y} [y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + y) (- 1 \cdot 1) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + y) \cdot - 1 - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 2.6.2

$x + y$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{- 1 \cdot (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 2.6.3

$- 1 (x + y)$ 을 $- (x + y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{- (x + y) - (x - y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

단계 2.8

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{- (x + y) - (x - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

단계 2.9

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [y]$ 에 더합니다.

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + y)}^{2}}$

단계 2.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{- (x + y) - (x - y) \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

단계 2.11

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- (x + y) - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x - y - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x - y - x - - y}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$- - y$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x - y - x + 1 y}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x - y - x + y}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.3.2

$- x - y - x + y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.3.2.1

$- y$ 를 $y$ 에 더합니다.

$\frac{- x - x + 0}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.3.2.2

$- x - x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- x - x}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.3.3

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x}{{(x + y)}^{2}}$

단계 3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 x}{{(x + y)}^{2}}$