미적분 예제

${(x^{2} + 1)}^{3} x^{2}$

단계 1

${(x^{2} + 1)}^{3} x^{2}$ 을 전개합니다.

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단계 1.1

이항정리 이용

$\int ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{2} d x$

단계 1.2

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int (x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{2} d x$

단계 1.3

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{2} d x$

단계 1.4

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x^{2} d x$

단계 1.5

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1^{3}) x^{2} d x$

단계 1.6

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot 1^{2}) x^{2} d x$

단계 1.7

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1)) x^{2} d x$

단계 1.8

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1)) x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{2} d x$

단계 1.9

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1) x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{2} d x$

단계 1.10

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) x^{2} + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{2} d x$

단계 1.11

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{2} d x$

단계 1.12

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{2} d x$

단계 1.13

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) x^{2} d x$

단계 1.14

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{2 + 2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.15

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int x^{4} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{4 + 2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.17

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int x^{6} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{6 + 2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.19

$6$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int x^{8} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.20

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{8} + 3 x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.21

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{8} + 3 x^{2 + 2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.22

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int x^{8} + 3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.23

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{8} + 3 x^{4 + 2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.24

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.25

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.26

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 x^{2} x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.27

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 x^{2 + 2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.28

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 x^{4} + 1 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.29

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 x^{4} + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

단계 1.30

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 x^{4} + 1 x^{2} d x$

단계 1.31

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{8} + 3 x^{6} + 3 x^{4} + x^{2} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x^{8} d x + \int 3 x^{6} d x + \int 3 x^{4} d x + \int x^{2} d x$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $x^{8}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{9} x^{9}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{9} x^{9} + C + \int 3 x^{6} d x + \int 3 x^{4} d x + \int x^{2} d x$

단계 4

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 3 \int x^{6} d x + \int 3 x^{4} d x + \int x^{2} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{6}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{7} x^{7}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 3 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int 3 x^{4} d x + \int x^{2} d x$

단계 6

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 3 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 3 \int x^{4} d x + \int x^{2} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 3 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int x^{2} d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 3 (\frac{1}{7} x^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$\frac{1}{7}$ 와 $x^{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 3 (\frac{x^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

단계 9.1.2

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 3 (\frac{x^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

$\frac{x^{9}}{9} + \frac{3 x^{7}}{7} + \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

단계 9.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{9} x^{9} + \frac{3}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + C$