미적분 예제

$p (z) = z {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$

단계 1

$f (z) = z$ , $g (z) = {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 는 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$z \frac{d}{d z} [{(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}] + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 2

$f (z) = z^{\frac{4}{3}}$ , $g (z) = 6 z + 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 는 $f' (g (z)) g' (z)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6 z + 1$ 로 바꿉니다.

$z (\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 2.2

$n = \frac{4}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$z (\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $6 z + 1$ 로 바꿉니다.

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 6.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$z (\frac{4}{3} {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

$\frac{4}{3}$ 와 ${(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$z (\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d z} [6 z + 1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 7.2

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ 와 $z$ 을 묶습니다.

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} \frac{d}{d z} [6 z + 1] + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 8

합의 법칙에 의해 $6 z + 1$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [6 z] + \frac{d}{d z} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (\frac{d}{d z} [6 z] + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 9

$6$ 은 $z$ 에 대해 일정하므로 $z$ 에 대한 $6 z$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d z} [z]$ 입니다.

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 11

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 + \frac{d}{d z} [1]) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 12

$1$ 이 $z$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} (6 + 0) + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 13

항을 간단히 합니다.

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단계 13.1

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} \cdot 6 + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 13.2

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\frac{4 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z \cdot 6}{3} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 13.3

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{24 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{3} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 13.4

$24 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z)}{3} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 14

공약수로 약분합니다.

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단계 14.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z)}{3 (1)} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 14.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z)}{3 \cdot 1} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 14.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z}{1} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 14.4

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d z} [z]$

단계 15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}} \cdot 1$

단계 16

식을 간단히 합니다.

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단계 16.1

${(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} z + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$

단계 16.2

항을 다시 정렬합니다.

$8 z {(6 z + 1)}^{\frac{1}{3}} + {(6 z + 1)}^{\frac{4}{3}}$