미적분 예제

$f (x) = e^{- 3 x} \sin (16 x)$

단계 1

$e^{- 3 x}$ 와 $\sin (16 x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \sin (16 x) e^{- 3 x} d x$

단계 2

$u = \sin (16 x)$ 이고 $d v = e^{- 3 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\sin (16 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (16 \cos (16 x)) d x$

단계 3

$- \frac{1}{3} \cdot 16$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{3} \cdot 16$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\sin (16 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot 16 \int e^{- 3 x} (\cos (16 x)) d x)$

단계 4

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$e^{- 3 x}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\sin (16 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot 16 \int e^{- 3 x} (\cos (16 x)) d x)$

단계 4.2

$\sin (16 x)$ 와 $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 16 \int e^{- 3 x} (\cos (16 x)) d x)$

단계 4.3

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (- 16 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\cos (16 x)) d x)$

단계 4.4

$- 16$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} \int e^{- 3 x} (\cos (16 x)) d x)$

단계 4.5

$e^{- 3 x}$ 와 $\cos (16 x)$ 을 다시 정렬합니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} \int \cos (16 x) e^{- 3 x} d x)$

단계 5

$u = \cos (16 x)$ 이고 $d v = e^{- 3 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (\cos (16 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (- 16 \sin (16 x)) d x))$

단계 6

$- \frac{1}{3} \cdot - 16$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{3} \cdot - 16$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (\cos (16 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 16 \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)))$

단계 7

항을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$e^{- 3 x}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (\cos (16 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 16 \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)))$

단계 7.2

$\cos (16 x)$ 와 $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (- \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot - 16 \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)))$

단계 7.3

$- 16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (- \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (16 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)))$

단계 7.4

$16$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 16}{3} (- \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)))$

단계 7.5

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 16}{3} (- \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3}) - \frac{- 16}{3} (- (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x))$

단계 7.6

곱합니다.

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단계 7.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + 1 (\frac{- 16}{3}) \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 16}{3} (- (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x))$

단계 7.6.2

$\frac{- 16}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16}{3} \cdot \frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 16}{3} (- (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x))$

단계 7.7

$\frac{- 16}{3}$ 에 $\frac{\cos (16 x) e^{- 3 x}}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{3 \cdot 3} - \frac{- 16}{3} (- (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x))$

단계 7.8

곱합니다.

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단계 7.8.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} - \frac{- 16}{3} (- (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x))$

단계 7.8.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} + 1 (\frac{- 16}{3}) (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)$

단계 7.8.3

$\frac{- 16}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 16}{3} (\frac{16}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x)$

단계 7.9

$\frac{16}{3}$ 에 $\frac{- 16}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{16 \cdot - 16}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x$

단계 7.10

곱합니다.

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단계 7.10.1

$16$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 256}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x$

단계 7.10.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 256}{9} \int e^{- 3 x} (\sin (16 x)) d x$

단계 8

$\int e^{- 3 x} \sin (16 x) d x$ 을 풀면 $\int e^{- 3 x} \sin (16 x) d x$ = $\frac{- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{265}{9}}$ 입니다.

$\frac{- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 16 (\cos (16 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{265}{9}} + C$

단계 9

답을 간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

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단계 9.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{16 \cos (16 x) e^{- 3 x}}{9}}{\frac{265}{9}} + C$

단계 9.1.2

$\frac{265}{9}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$(- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{16 \cos (16 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{265} + C$

단계 9.2

$(- \frac{\sin (16 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{16 \cos (16 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{265} + C$ 을 $(- \frac{1}{3} \sin (16 x) e^{- 3 x} - \frac{16}{9} \cos (16 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{265} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$(- \frac{1}{3} \sin (16 x) e^{- 3 x} - \frac{16}{9} \cos (16 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{265} + C$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$\sin (16 x)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$(- \frac{\sin (16 x)}{3} e^{- 3 x} - \frac{16}{9} \cos (16 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{265} + C$

단계 9.3.2

$e^{- 3 x}$ 와 $\frac{\sin (16 x)}{3}$ 을 묶습니다.

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{16}{9} \cos (16 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{265} + C$

단계 9.3.3

$\cos (16 x)$ 와 $\frac{16}{9}$ 을 묶습니다.

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{\cos (16 x) \cdot 16}{9} e^{- 3 x}) \frac{9}{265} + C$

단계 9.3.4

$e^{- 3 x}$ 와 $\frac{\cos (16 x) \cdot 16}{9}$ 을 묶습니다.

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (16 x) \cdot 16)}{9}) \frac{9}{265} + C$

단계 9.3.5

$\cos (16 x)$ 의 왼쪽으로 $16$ 이동하기

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (16 \cos (16 x))}{9}) \frac{9}{265} + C$

단계 9.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1.1

다시 씁니다.

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (16 x) \cdot 16)}{9}) \frac{9}{265} + C$

단계 9.4.1.2

$\cos (16 x)$ 의 왼쪽으로 $16$ 이동하기

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (16 \cdot \cos (16 x))}{9}) \frac{9}{265} + C$

단계 9.4.1.3

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (16 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} \cdot 16 \cos (16 x)}{9}) \frac{9}{265} + C$

단계 9.4.2

$e^{- 3 x}$ 의 왼쪽으로 $16$ 이동하기

$(- \frac{1}{3} e^{- 3 x} \sin (16 x) - \frac{16}{9} e^{- 3 x} \cos (16 x)) \frac{9}{265} + C$