미적분 예제

$\arctan (\frac{x + y}{1 - x y})$

단계 1

$f (y) = \arctan (y)$ , $g (y) = \frac{x + y}{1 - x y}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x + y}{1 - x y}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

단계 1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x + y}{1 - x y}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

단계 2

$f (y) = x + y$ , $g (y) = 1 - x y$ 일 때 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 는 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

단계 3.2

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [y]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

단계 3.5

$1 - x y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

단계 3.6

합의 법칙에 의해 $1 - x y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

단계 3.7

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

단계 3.8

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [- x y]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [- x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

단계 3.9

$- x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- x y$ 의 미분은 $- x \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (- x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

단계 3.10

곱합니다.

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단계 3.10.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + 1 (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

단계 3.10.2

$x + y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

단계 3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) x \cdot 1}{{(1 - x y)}^{2}}$

단계 3.12

분수를 통분합니다.

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단계 3.12.1

$x + y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + x \cdot (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$

단계 3.12.2

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}}$ 에 $\frac{1 - x y + x (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{x + y}{1 - x y}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 - x y + x \cdot x + x y}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

단계 4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$1 - x y + x \cdot x + x y$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.3.1.1

$- x y$ 를 $x y$ 에 더합니다.

$\frac{1 + x \cdot x + 0}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

단계 4.3.1.2

$1 + x \cdot x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1 + x \cdot x}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

단계 4.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + x^{2}}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

단계 4.4

항을 묶습니다.

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단계 4.4.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1 + x^{2}}{(\frac{{(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

단계 4.4.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} {(1 - x y)}^{2}}$

단계 4.4.3

$\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}$ 와 ${(1 - x y)}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

단계 4.4.4

${(1 - x y)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

단계 4.4.4.2

${(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.6

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

${(1 - x y)}^{2}$ 을 $(1 - x y) (1 - x y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} + 1}{(1 - x y) (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.6.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 - x y) (1 - x y)$ 를 전개합니다.

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단계 4.6.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 (1 - x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.6.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.6.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.6.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.6.3.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.6.3.1.2

$- x y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.6.3.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.6.3.1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.6.3.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - (x \cdot x) y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.6.3.1.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.6.3.1.5

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 4.6.3.1.5.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} (y \cdot y) \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.6.3.1.5.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y^{2} \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.6.3.1.6

$- x^{2} y^{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 4.6.3.1.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + 1 x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.6.3.1.6.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.6.3.2

$- x y$ 에서 $x y$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

단계 4.6.4

${(x + y)}^{2}$ 을 $(x + y) (x + y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + (x + y) (x + y)}$

단계 4.6.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + y) (x + y)$ 를 전개합니다.

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단계 4.6.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x (x + y) + y (x + y)}$

단계 4.6.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y)}$

단계 4.6.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y}$

단계 4.6.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.6.6.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y}$

단계 4.6.6.1.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2}}$

단계 4.6.6.2

$x y$ 를 $y x$ 에 더합니다.

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단계 4.6.6.2.1

$y$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2}}$

단계 4.6.6.2.2

$x y$ 를 $x y$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

단계 4.6.7

$- 2 x y$ 를 $2 x y$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2} y^{2} + x^{2} + 0 + y^{2}}$

단계 4.6.8

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}}$

단계 4.6.9

인수분해된 형태로 $x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}$ 를 다시 씁니다.

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단계 4.6.9.1

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 4.6.9.1.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{x^{2} + 1}{(x^{2} y^{2} + x^{2}) + 1 + y^{2}}$

단계 4.6.9.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)}$

단계 4.6.9.2

최대공약수 $y^{2} + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

단계 4.7

$x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

단계 4.7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{y^{2} + 1}$