미적분 예제

$y = \frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = 1 + \csc (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - \csc (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.2

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc (x) \cot (x)$ 입니다.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $1 + \csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.3.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.4

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc (x) \cot (x)$ 입니다.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.5

곱합니다.

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단계 3.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.5.2

$\csc (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x))}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.6

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.7

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.10

간단히 합니다.

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단계 3.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.10.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.10.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.10.2.1.1

$- \csc (x) \cot (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.10.2.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.10.2.1.3

$- \csc (x) \csc (x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.10.2.1.3.1

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.10.2.1.3.2

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.10.2.1.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.10.2.1.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.10.2.2

$- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.10.2.2.1

$- \csc^{2} (x) \cot (x)$ 를 $\csc^{2} (x) \cot (x)$ 에 더합니다.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + 0}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.10.2.2.2

$- \csc (x) \cot (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- \csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 3.10.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{\csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (x) \cot (x)}{{(1 + \csc (x))}^{2}}$