미적분 예제

$\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 x^{- \frac{3}{2}})$

단계 1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})]$

단계 2

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$6$ 와 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot \frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.2

분수를 통분합니다.

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단계 2.2.1

$\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ 와 $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot 6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.2.2

$\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\frac{d}{d y} [\frac{6 \cdot \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}]$

단계 2.3

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{6 \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}$ 의 미분은 $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$ 입니다.

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$

단계 3

$f (y) = \ln (y)$ , $g (y) = 5 x^{2} + 10 y^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x^{2} + 10 y^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

단계 3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $5 x^{2} + 10 y^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}}$ 에 $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}]$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} + 10 y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

단계 4.3

$5 x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $5 x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $5 x^{2}$ 입니다.

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

단계 4.4

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ 에 더합니다.

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$

단계 4.5

$10$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $10 y^{3}$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 입니다.

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (10 \frac{d}{d y} [y^{3}])$

단계 4.6

항을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$10$ 와 $\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{10 \cdot 6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

단계 4.6.2

$10$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{60}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

단계 4.6.3

$60$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot 12}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

단계 5

공약수로 약분합니다.

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단계 5.1

$(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

단계 5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

단계 5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

단계 6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (3 y^{2})$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

$3$ 와 $\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \cdot 12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

단계 7.2

$3$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

단계 7.3

$\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{36 y^{2}}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{36 y^{2}}{x^{2} x^{\frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 8.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.2.3

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.2.5.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{4 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.2.5.2

$4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{7}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 8.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{36 y^{2}}{2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}}$

단계 8.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 8.4.1

$2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}$ 에서 $x^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.4.1.1

$2 x^{\frac{3}{2}} y^{3}$ 에서 $x^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{7}{2}}}$

단계 8.4.1.2

$x^{\frac{7}{2}}$ 에서 $x^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}}$

단계 8.4.1.3

$x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}$ 에서 $x^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{\frac{4}{2}})}$

단계 8.4.2

$4$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{2})}$