미적분 예제

$\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

단계 2

$\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{z - 1}$ 을 ${(z - 1)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d z} [{(z - 1)}^{- 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

단계 2.2

$f (z) = z^{- 1}$ , $g (z) = z - 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 는 $f' (g (z)) g' (z)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $z - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

단계 2.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $z - 1$ 로 바꿉니다.

$- {(z - 1)}^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $z - 1$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$ 가 됩니다.

$- {(z - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

단계 2.5

$- 1$ 이 $z$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

단계 2.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- {(z - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

단계 2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- {(z - 1)}^{- 2} + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

단계 3

$\frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$f (z) = - 1$ , $g (z) = \frac{1}{z}$ 일 때 $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ 는 $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

단계 3.2

$\frac{1}{z}$ 을 $z^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [z^{- 1}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

단계 3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

단계 3.4

$- 1$ 이 $z$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

단계 3.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- {(z - 1)}^{- 2} + 1 z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

단계 3.6

$z^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

단계 3.7

$\frac{1}{z}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + 0$

단계 3.8

$z^{- 2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2}$

단계 4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + z^{- 2}$

단계 5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$

단계 6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{z^{2}} - \frac{1}{{(z - 1)}^{2}}$