미적분 예제

$f (z) = \frac{z^{2} + 1}{3 z}$

단계 1

$\frac{1}{3}$ 은 $z$ 에 대해 일정하므로 $z$ 에 대한 $\frac{z^{2} + 1}{3 z}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$

단계 2

$f (z) = z^{2} + 1$ , $g (z) = z$ 일 때 $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ 는 $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $z^{2} + 1$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

단계 3.3

$1$ 이 $z$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + 0) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

단계 3.4

$2 z$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

단계 4

$z$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

단계 5

$z$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z^{1}) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{1 + 1} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

단계 7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

단계 8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \cdot 1}{z^{2}}$

단계 9

분수를 통분합니다.

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단계 9.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$

단계 9.2

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{3 z^{2}}$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1 \cdot 1}{3 z^{2}}$

단계 10.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

단계 10.2.2

$2 z^{2}$ 에서 $z^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

단계 10.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{z^{2} - 1^{2}}{3 z^{2}}$

단계 10.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = z$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{(z + 1) (z - 1)}{3 z^{2}}$