미적분 예제

$\ln (\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}})$

단계 1

$f (z) = \ln (z)$ , $g (z) = \frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ 일 때 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 는 $f' (g (z)) g' (z)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

단계 2

$\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

단계 3

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

단계 4

$x^{40} y^{30}$ 은 $z$ 에 대해 일정하므로 $z$ 에 대한 $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ 의 미분은 $x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$ 입니다.

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} (x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

단계 5

항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$x^{40}$ 와 $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} (y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

단계 5.2

$y^{30}$ 와 $\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y^{30} (x^{40} z^{20})}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

단계 5.3

$y^{30}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y^{30} x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

단계 5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

단계 5.4

$x^{40}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

단계 5.4.2

$z^{20}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$z^{20} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

단계 5.5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.5.1

$\frac{1}{z^{20}}$ 을 ${(z^{20})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$z^{20} \frac{d}{d z} [{(z^{20})}^{- 1}]$

단계 5.5.2

${(z^{20})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{20 \cdot - 1}]$

단계 5.5.2.2

$20$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{- 20}]$

단계 6

$n = - 20$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$z^{20} (- 20 z^{- 21})$

단계 7

지수를 더하여 $z^{20}$ 에 $z^{- 21}$ 을 곱합니다.

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단계 7.1

$z^{- 21}$ 를 옮깁니다.

$z^{- 21} z^{20} \cdot - 20$

단계 7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$z^{- 21 + 20} \cdot - 20$

단계 7.3

$- 21$ 를 $20$ 에 더합니다.

$z^{- 1} \cdot - 20$

단계 8

$z^{- 1}$ 의 왼쪽으로 $- 20$ 이동하기

$- 20 \cdot z^{- 1}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 20 \frac{1}{z}$

단계 9.2

항을 묶습니다.

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단계 9.2.1

$- 20$ 와 $\frac{1}{z}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 20}{z}$

단계 9.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{20}{z}$