미적분 예제

$y = 3 x (4 x^{2} - 7 x)$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x (4 x^{2} - 7 x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 7 x)]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 7 x)]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = 4 x^{2} - 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 7 x] + (4 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} - 7 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ 가 됩니다.

$3 (x (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]) + (4 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 (x (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]) + (4 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x]) + (4 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$3 (x (8 x + \frac{d}{d x} [- 7 x]) + (4 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.5

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 x$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 (x (8 x - 7 \frac{d}{d x} [x]) + (4 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (8 x - 7 \cdot 1) + (4 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.7

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x (8 x - 7) + (4 x^{2} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (8 x - 7) + (4 x^{2} - 7 x) \cdot 1)$

단계 3.9

$4 x^{2} - 7 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x (8 x - 7) + 4 x^{2} - 7 x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x (8 x) + x \cdot - 7 + 4 x^{2} - 7 x)$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x (8 x)) + 3 (x \cdot - 7) + 3 (4 x^{2}) + 3 (- 7 x)$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 (8 (x^{1} x)) + 3 (x \cdot - 7) + 3 (4 x^{2}) + 3 (- 7 x)$

단계 4.3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 (8 (x^{1} x^{1})) + 3 (x \cdot - 7) + 3 (4 x^{2}) + 3 (- 7 x)$

단계 4.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 (8 x^{1 + 1}) + 3 (x \cdot - 7) + 3 (4 x^{2}) + 3 (- 7 x)$

단계 4.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 (8 x^{2}) + 3 (x \cdot - 7) + 3 (4 x^{2}) + 3 (- 7 x)$

단계 4.3.5

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} + 3 (x \cdot - 7) + 3 (4 x^{2}) + 3 (- 7 x)$

단계 4.3.6

$x$ 의 왼쪽으로 $- 7$ 이동하기

$24 x^{2} + 3 (- 7 \cdot x) + 3 (4 x^{2}) + 3 (- 7 x)$

단계 4.3.7

$- 7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} - 21 x + 3 (4 x^{2}) + 3 (- 7 x)$

단계 4.3.8

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$24 x^{2} - 21 x + 12 x^{2} + 3 (- 7 x)$

단계 4.3.9

$24 x^{2}$ 를 $12 x^{2}$ 에 더합니다.

$36 x^{2} - 21 x + 3 (- 7 x)$

단계 4.3.10

$- 7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$36 x^{2} - 21 x - 21 x$

단계 4.3.11

$- 21 x$ 에서 $21 x$ 을 뺍니다.

$36 x^{2} - 42 x$