미적분 예제

$y = 3 x e^{2 x^{5}}$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x e^{2 x^{5}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x e^{2 x^{5}}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x e^{2 x^{5}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{2 x^{5}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x^{5}}] + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x^{5}$ 로 바꿉니다.

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $2 x^{5}$ 로 바꿉니다.

$3 (x (e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{5}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$3 (x (e^{2 x^{5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}])) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (e^{2 x^{5}} (2 (5 x^{4}))) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 (x (e^{2 x^{5}} (10 x^{4})) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 (x^{4} x^{1} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 (x^{4 + 1} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

식을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3 (x^{5} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.2

$e^{2 x^{5}}$ 의 왼쪽으로 $10$ 이동하기

$3 (x^{5} (10 \cdot e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}} \cdot 1)$

단계 9

$e^{2 x^{5}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}})$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}})) + 3 e^{2 x^{5}}$

단계 10.2

$10$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$30 x^{5} e^{2 x^{5}} + 3 e^{2 x^{5}}$

단계 10.3

항을 다시 정렬합니다.

$30 e^{2 x^{5}} x^{5} + 3 e^{2 x^{5}}$

단계 10.4

$30 e^{2 x^{5}} x^{5} + 3 e^{2 x^{5}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$30 x^{5} e^{2 x^{5}} + 3 e^{2 x^{5}}$