미적분 예제

$y = 4 \ln (x^{2} e^{x})$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \ln (x^{2} e^{x})$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} e^{x}$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

단계 2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} e^{x}$ 로 바꿉니다.

$4 (\frac{1}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

단계 3

$\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

단계 4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x}) + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

단계 7.2

항을 묶습니다.

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단계 7.2.1

$x^{2}$ 와 $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} e^{x} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

단계 7.2.2

$\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \cdot 4 e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

단계 7.2.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

단계 7.2.4

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

단계 7.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

단계 7.2.5

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

단계 7.2.5.2

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

단계 7.2.6

$e^{x}$ 와 $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ 을 묶습니다.

$4 + \frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} (2 x)$

단계 7.2.7

$2$ 와 $\frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ 을 묶습니다.

$4 + \frac{2 (e^{x} \cdot 4)}{x^{2} e^{x}} x$

단계 7.2.8

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}} x$

단계 7.2.9

$\frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

단계 7.2.10

$e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.10.1

공약수로 약분합니다.

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

단계 7.2.10.2

수식을 다시 씁니다.

$4 + \frac{8 x}{x^{2}}$

단계 7.2.11

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.11.1

$8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$4 + \frac{x \cdot 8}{x^{2}}$

단계 7.2.11.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.11.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

단계 7.2.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

단계 7.2.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 + \frac{8}{x}$

단계 7.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{8}{x} + 4$