미적분 예제

$y = 4 x^{3} \ln (2 x^{5})$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3} \ln (2 x^{5})$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (2 x^{5})]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (2 x^{5})]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \ln (2 x^{5})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{5})] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 2 x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x^{5}$ 로 바꿉니다.

$4 (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$4 (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $2 x^{5}$ 로 바꿉니다.

$4 (x^{3} (\frac{1}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{2 x^{5}}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{3}}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.2

$x^{3}$ 및 $x^{5}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1

$2 x^{5}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} (2 x^{2})} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} (2 x^{2})} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 (\frac{1}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{5}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$4 (\frac{1}{2 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.4

항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$2$ 와 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{2}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.4.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{2}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$4 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.5

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (\frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.6

항을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$5$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{5}{x^{2}} x^{4} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.6.2

$\frac{5}{x^{2}}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{5 x^{4}}{x^{2}} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.6.3

$x^{4}$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.3.1

$5 x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2}} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.6.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.6.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.6.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 (\frac{5 x^{2}}{1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.6.3.2.4

$5 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 (5 x^{2} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.7

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (5 x^{2} + \ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (5 x^{2}) + 4 (\ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$20 x^{2} + 4 (\ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

단계 5.2.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$20 x^{2} + 12 \ln (2 x^{5}) x^{2}$

단계 5.3

항을 다시 정렬합니다.

$20 x^{2} + 12 x^{2} \ln (2 x^{5})$