미적분 예제

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{x}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4

$\frac{x}{4}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$5 (x^{2} (1 \frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5

항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{4}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x^{2} (\frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5.2

$\frac{4}{x}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{4 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5.3

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.1

$4 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$5 (\frac{x (4 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 (\frac{x (4 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5.3.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$5 (\frac{4 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5.3.2.5

$4 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 (4 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 (4 x (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 7

항을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$5 (x (\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 7.2

$\frac{4}{4}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 7.3

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.1

공약수로 약분합니다.

$5 (\frac{4 x}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 7.3.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 9

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

단계 11.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

단계 11.3

항을 다시 정렬합니다.

$10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$