미적분 예제

$y = 5 \arctan (x - \sqrt{1 + x^{2}})$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 을(를) ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [5 \arctan (x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

단계 1.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \arctan (x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\arctan (x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\arctan (x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

단계 2.2

$\arctan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 입니다.

$5 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$5 (\frac{1}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

단계 4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 1 + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

단계 4.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

단계 8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

단계 9

분수를 통분합니다.

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단계 9.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

단계 9.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

단계 9.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$

단계 10

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

단계 11

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

단계 12

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

단계 14

항을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - 2 \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)$

단계 14.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{- 2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)$

단계 14.3

$\frac{- 2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{- 2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

단계 14.4

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

단계 15

공약수로 약분합니다.

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단계 15.1

$2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})})$

단계 15.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

단계 15.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 + \frac{- x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

단계 16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

단계 17

$\frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (1 - \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(1 - \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \frac{5}{1 + {(x - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$