미적분 예제

$y = 5 \cos (x) \sec (x^{2})$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \cos (x) \sec (x^{2})$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sec (x^{2})]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sec (x^{2})]$

단계 2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \sec (x^{2})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x^{2})] + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$5 (\cos (x) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.2

$\sec (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\sec (u) \tan (u)$ 입니다.

$5 (\cos (x) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$5 (\cos (x) (\sec (x^{2}) \tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 5

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x) + \sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x)) + 5 (\sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

단계 6.2

항을 묶습니다.

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단계 6.2.1

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$10 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (x)) + 5 (\sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

단계 6.2.2

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$10 \cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) x - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

단계 6.3

항을 다시 정렬합니다.

$10 x \cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

단계 6.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.4.1

$\sec (x^{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$10 x \cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

단계 6.4.2

$10 x \cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}$ 을 곱합니다.

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단계 6.4.2.1

$10$ 와 $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ 을 묶습니다.

$x \cos (x) \frac{10}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

단계 6.4.2.2

$\frac{10}{\cos (x^{2})}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{10 x}{\cos (x^{2})} \cos (x) \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

단계 6.4.2.3

$\frac{10 x}{\cos (x^{2})}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{10 x \cos (x)}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

단계 6.4.3

$\tan (x^{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{10 x \cos (x)}{\cos (x^{2})} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

단계 6.4.4

조합합니다.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2}) \cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

단계 6.4.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.4.5.1

$\cos (x^{2})$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

단계 6.4.5.2

$\cos (x^{2})$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

단계 6.4.5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{{\cos (x^{2})}^{1 + 1}} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

단계 6.4.5.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

단계 6.4.6

$\sec (x^{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - 5 \frac{1}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

단계 6.4.7

$- 5$ 와 $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ 을 묶습니다.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} + \frac{- 5}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

단계 6.4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{5}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

단계 6.4.9

$\sin (x)$ 와 $\frac{5}{\cos (x^{2})}$ 을 묶습니다.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{\sin (x) \cdot 5}{\cos (x^{2})}$

단계 6.4.10

$\sin (x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

단계 6.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.5.1

$\cos^{2} (x^{2})$ 에서 $\cos (x^{2})$ 를 인수분해합니다.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2}) \cos (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

단계 6.5.2

분수를 나눕니다.

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

단계 6.5.3

$\frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

단계 6.5.4

$\cos (x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

단계 6.5.5

간단히 합니다.

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단계 6.5.5.1

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

단계 6.5.5.2

$\frac{1}{\cos (x^{2})}$ 을 $\sec (x^{2})$ 로 변환합니다.

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

단계 6.5.6

분수를 나눕니다.

$\frac{10 x}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

단계 6.5.7

$\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ 을 $\tan (x^{2})$ 로 변환합니다.

$\frac{10 x}{1} \tan (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

단계 6.5.8

$10 x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$10 x \tan (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

단계 6.5.9

분수를 나눕니다.

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x^{2})})$

단계 6.5.10

$\frac{\sin (x)}{\cos (x^{2})}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

단계 6.5.11

$\sin (x)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

단계 6.5.12

간단히 합니다.

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단계 6.5.12.1

$\sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

단계 6.5.12.2

$\frac{1}{\cos (x^{2})}$ 을 $\sec (x^{2})$ 로 변환합니다.

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \sec (x^{2})))$

단계 6.5.13

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (5 (\sin (x) \sec (x^{2})))$

단계 6.5.14

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - 5 \sin (x) \sec (x^{2})$