미적분 예제

$y = 5 x e^{5 x} - e^{5 x}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $5 x e^{5 x} - e^{5 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x e^{5 x}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{5 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

단계 2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$5 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

단계 2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

단계 2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$5 (x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

단계 2.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 (x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

단계 2.7

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

단계 2.8

$e^{5 x}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$5 (x (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

단계 2.9

$e^{5 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{5 x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ 입니다.

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

단계 3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 3.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

단계 3.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} \cdot 5)$

단계 3.6

$e^{5 x}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (5 \cdot e^{5 x})$

단계 3.7

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - 5 e^{5 x}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (x (5 e^{5 x})) + 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$25 (x (e^{5 x})) + 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x}$

단계 4.2.2

$5 e^{5 x}$ 에서 $5 e^{5 x}$ 을 뺍니다.

$25 x e^{5 x} + 0$

단계 4.2.3

$25 x e^{5 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$25 x e^{5 x}$

단계 4.3

$25 x e^{5 x}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$25 e^{5 x} x$

단계 4.4

$25 e^{5 x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$25 x e^{5 x}$