미적분 예제

$y = 2 \sin (\frac{x}{2}) + 8 \cos (\frac{x}{2})$

단계 1

합의 법칙에 의해 $2 \sin (\frac{x}{2}) + 8 \cos (\frac{x}{2})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (\frac{x}{2})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sin (\frac{x}{2})$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

단계 2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

단계 2.2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

단계 2.3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

단계 2.5

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

단계 2.6

$\cos (\frac{x}{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

단계 2.7

$2$ 와 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

단계 2.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

단계 2.8.2

$\cos (\frac{x}{2})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 \cos (\frac{x}{2})$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ 입니다.

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

단계 3.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \frac{x}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 3.2.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

단계 3.3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1))$

단계 3.5

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{2})$

단계 3.6

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (\frac{x}{2})$ 을 묶습니다.

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2})$

단계 3.7

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\cos (\frac{x}{2}) - 8 \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$

단계 3.8

$- 8$ 와 $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ 을 묶습니다.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{- 8 \sin (\frac{x}{2})}{2}$

단계 3.9

$- 8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.9.1

$- 8 \sin (\frac{x}{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 (- 4 \sin (\frac{x}{2}))}{2}$

단계 3.9.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.9.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 (- 4 \sin (\frac{x}{2}))}{2 (1)}$

단계 3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 (- 4 \sin (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1}$

단계 3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{- 4 \sin (\frac{x}{2})}{1}$

단계 3.9.2.4

$- 4 \sin (\frac{x}{2})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (\frac{x}{2}) - 4 \sin (\frac{x}{2})$