미적분 예제

$y = 3 x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 4 x^{4} - 5 x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} - 5 x^{3}] + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{4} - 5 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 가 됩니다.

$3 (x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{4}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$3 (x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{3} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.4

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$3 (x^{3} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.5

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{3}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$3 (x^{3} (16 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{3} (16 x^{3} - 5 (3 x^{2})) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.7

$3$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$3 (x^{3} (16 x^{3} - 15 x^{2}) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.8

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{3} (16 x^{3} - 15 x^{2}) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) (3 x^{2}))$

단계 3.9

$4 x^{4} - 5 x^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 (x^{3} (16 x^{3} - 15 x^{2}) + 3 \cdot (4 x^{4} - 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x^{3} (16 x^{3}) + x^{3} (- 15 x^{2}) + 3 (4 x^{4} - 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x^{3} (16 x^{3}) + x^{3} (- 15 x^{2}) + (3 (4 x^{4}) + 3 (- 5 x^{3})) x^{2})$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x^{3} (16 x^{3}) + x^{3} (- 15 x^{2}) + 3 (4 x^{4}) x^{2} + 3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x^{3} (16 x^{3})) + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5

항을 묶습니다.

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단계 4.5.1

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.1.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$3 (x^{3} x^{3} \cdot 16) + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 (x^{3 + 3} \cdot 16) + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5.1.3

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$3 (x^{6} \cdot 16) + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5.2

$x^{6}$ 의 왼쪽으로 $16$ 이동하기

$3 (16 \cdot x^{6}) + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5.3

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$48 x^{6} + 3 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5.4

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.4.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$48 x^{6} + 3 (x^{2} x^{3} \cdot - 15) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$48 x^{6} + 3 (x^{2 + 3} \cdot - 15) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5.4.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$48 x^{6} + 3 (x^{5} \cdot - 15) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5.5

$x^{5}$ 의 왼쪽으로 $- 15$ 이동하기

$48 x^{6} + 3 (- 15 \cdot x^{5}) + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5.6

$- 15$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 3 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5.7

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 3 (12 x^{4} x^{2}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5.8

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.8.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 3 (12 (x^{2} x^{4})) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5.8.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 3 (12 x^{2 + 4}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5.8.3

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 3 (12 x^{6}) + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5.9

$12$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} + 3 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

단계 4.5.10

$- 5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} + 3 (- 15 x^{3} x^{2})$

단계 4.5.11

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.11.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} + 3 (- 15 (x^{2} x^{3}))$

단계 4.5.11.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} + 3 (- 15 x^{2 + 3})$

단계 4.5.11.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} + 3 (- 15 x^{5})$

단계 4.5.12

$- 15$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$48 x^{6} - 45 x^{5} + 36 x^{6} - 45 x^{5}$

단계 4.5.13

$48 x^{6}$ 를 $36 x^{6}$ 에 더합니다.

$84 x^{6} - 45 x^{5} - 45 x^{5}$

단계 4.5.14

$- 45 x^{5}$ 에서 $45 x^{5}$ 을 뺍니다.

$84 x^{6} - 90 x^{5}$