미적분 예제

$y = 3 x^{2} + 7 e^{2 x}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + 7 e^{2 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$

단계 2.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x + \frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [7 e^{2 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 e^{2 x}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 입니다.

$6 x + 7 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$6 x + 7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x + 7 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$6 x + 7 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 x + 7 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x + 7 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

단계 3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x + 7 (e^{2 x} \cdot 2)$

단계 3.6

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$6 x + 7 (2 \cdot e^{2 x})$

단계 3.7

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$6 x + 14 e^{2 x}$