미적분 예제

$y = 3 \sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$ 을(를) ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

단계 1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = 2 x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

단계 2.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $2 x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

단계 6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

단계 7

항을 간단히 합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

단계 7.2

$\frac{1}{3}$ 와 ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

단계 7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$3 (\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

단계 7.4

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

단계 7.5

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

단계 7.6

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

단계 8

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 9

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

단계 11

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 12

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x + 0)$

단계 13

분수를 통분합니다.

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단계 13.1

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x)$

단계 13.2

$4$ 와 $\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

단계 13.3

$\frac{4}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$