미적분 예제

$y = 3 {(2 - x^{2})}^{4}$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 {(2 - x^{2})}^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{4}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{4}]$

단계 2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 2 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

단계 2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $2 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$3 (4 {(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$12 ({(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $2 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$12 {(2 - x^{2})}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 3.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$12 {(2 - x^{2})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$12 {(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 3.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 {(2 - x^{2})}^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.6

$- 1$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$- 12 {(2 - x^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12 {(2 - x^{2})}^{3} (2 x)$

단계 3.8

식을 간단히 합니다.

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단계 3.8.1

$2$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$- 24 {(2 - x^{2})}^{3} x$

단계 3.8.2

$- 24 {(2 - x^{2})}^{3} x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 24 x {(2 - x^{2})}^{3}$