미적분 예제

$y = 2 \csc^{3} (\sqrt{x})$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [2 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

단계 1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \csc (x^{\frac{1}{2}})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\csc (x^{\frac{1}{2}})$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\csc (x^{\frac{1}{2}})$ 로 바꿉니다.

$2 (3 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

단계 3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 (\csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{\frac{1}{2}})])$

단계 4

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.2

$\csc (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ 입니다.

$6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (- \csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 5

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 6 \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\csc (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 6

$\csc (x^{\frac{1}{2}})$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 6 (\csc^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \csc^{2} (x^{\frac{1}{2}})) (\cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 6 {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{1 + 2} (\cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 8

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) (\cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 9

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 10

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 11

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 13

분자를 간단히 합니다.

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단계 13.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 13.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 15

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 16

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $- 6$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6}{2} \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})$

단계 17

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6}{2}$ 와 $\csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \cot (x^{\frac{1}{2}})$

단계 18

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ 와 $\cot (x^{\frac{1}{2}})$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

단계 19

식을 간단히 합니다.

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단계 19.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $- 6$ 이동하기

$\frac{- 6 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

단계 19.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 20

$- 6 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 21

공약수로 약분합니다.

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단계 21.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

단계 21.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 22

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 \csc^{3} (x^{\frac{1}{2}}) \cot (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$