미적분 예제

$y = \arccos (\frac{2 x}{1 + x^{2}})$

단계 1

$f (x) = \arccos (x)$ , $g (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 + x^{2}}]$

단계 1.2

$\arccos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 입니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 + x^{2}}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{1 + x^{2}}]$

단계 2

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$ 입니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}])$

단계 2.2

분수를 통분합니다.

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단계 2.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

단계 2.2.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

단계 2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

단계 3

$f (x) = x$ , $g (x) = 1 + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.2

$1 + x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.3

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 4.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 9

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}} \cdot \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

단계 10

$\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ 에 $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{(1 - x^{2}) \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

단계 11

$1 - x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{2 \cdot (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - {(\frac{2 x}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{{(2 x)}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.2

$2 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.4.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.4.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{2^{2} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{2 - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.6.1

$2 - 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 12.6.1.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (1) - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.6.1.2

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (1) + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.6.1.3

$2 (1) + 2 (- x^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.6.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2 (1^{2} - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.6.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{1 - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.7

분모를 간단히 합니다.

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단계 12.7.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} - \frac{4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.7.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.7.3

인수분해된 형태로 $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ 를 다시 씁니다.

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단계 12.7.3.1

$4 x^{2}$ 을 ${(2 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} - {(2 x)}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.7.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1 + x^{2}$ 이고 $b = 2 x$ 입니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + x^{2} + 2 x) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.7.3.3

간단히 합니다.

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단계 12.7.3.3.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 12.7.3.3.1.1

항을 다시 배열합니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1 + 2 x + x^{2}) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.7.3.3.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1^{2} + 2 x + x^{2}) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.7.3.3.1.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

단계 12.7.3.3.1.4

다항식을 다시 씁니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{(1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}) (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.7.3.3.1.5

$a = 1$ 이고 $b = x$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1 + x^{2} - (2 x))}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.7.3.3.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 12.7.3.3.2.1

항을 다시 배열합니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1 - 1 \cdot 2 x + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.7.3.3.2.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1^{2} - 1 \cdot 2 x + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.7.3.3.2.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$1 \cdot 2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

단계 12.7.3.3.2.4

다항식을 다시 씁니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.7.3.3.2.5

$a = 1$ 이고 $b = x$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.7.4

${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ 을 ${((1 + x) (1 - x))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{\frac{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}}}$

단계 12.7.5

$\frac{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ 을 ${(\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \sqrt{{(\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}})}^{2}}}$

단계 12.7.6

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}}$

단계 12.8

${(1 + x^{2})}^{2}$ 와 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{{(1 + x^{2})}^{2} ((1 + x) (1 - x))}{1 + x^{2}}}$

단계 12.9

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 12.9.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{{(1 + x^{2})}^{2} (1 + x) (1 - x)}{1 + x^{2}}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 12.9.1.1

${(1 + x^{2})}^{2} (1 + x) (1 - x)$ 에서 $1 + x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{(1 + x^{2}) (((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x))}{1 + x^{2}}}$

단계 12.9.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{(1 + x^{2}) (((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x))}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

단계 12.9.1.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{(1 + x^{2}) (((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x))}{(1 + x^{2}) \cdot 1}}$

단계 12.9.1.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{\frac{((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x)}{1}}$

단계 12.9.2

$((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{((1 + x^{2}) (1 + x)) (1 - x)}$

단계 12.10

$1 + x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.10.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}$

단계 12.10.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{2 (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 - x)}$

단계 12.11

$1 - x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 12.11.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2 (1 - x)}{(1 + x^{2}) (1 - x)}$

단계 12.11.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{2}{1 + x^{2}}$