미적분 예제

$y = 8 x^{2} \cos (x) \cot (x)$

단계 1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{2} \cos (x) \cot (x)$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) \cot (x)]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) \cot (x)]$

단계 2

$f (x) = x^{2} \cos (x)$ , $g (x) = \cot (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (x^{2} \cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)])$

단계 3

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (x)$ 입니다.

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)])$

단계 4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

단계 5

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

단계 6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)))$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (x^{2} (- \sin (x))) + \cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$8 (x^{2} \cos (x) (- \csc^{2} (x))) + 8 (\cot (x) (x^{2} (- \sin (x)))) + 8 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

단계 7.3

항을 묶습니다.

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단계 7.3.1

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 8 (x^{2} \cos (x) (\csc^{2} (x))) + 8 (\cot (x) (x^{2} (- \sin (x)))) + 8 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

단계 7.3.2

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 8 x^{2} \cos (x) \csc^{2} (x) - 8 (\cot (x) x^{2} (\sin (x))) + 8 (\cot (x) (\cos (x) (2 x)))$

단계 7.3.3

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 8 x^{2} \cos (x) \csc^{2} (x) - 8 \cot (x) x^{2} \sin (x) + 16 \cot (x) \cos (x) x$

단계 7.4

항을 다시 정렬합니다.

$- 8 x^{2} \csc^{2} (x) \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

단계 7.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.5.1

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- 8 x^{2} {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

단계 7.5.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 8 x^{2} \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

단계 7.5.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 8 x^{2} \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

단계 7.5.4

$- 8 x^{2} \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.4.1

$- 8$ 와 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$x^{2} \frac{- 8}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

단계 7.5.4.2

$x^{2}$ 와 $\frac{- 8}{\sin^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \cdot - 8}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

단계 7.5.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 8$ 이동하기

$\frac{- 8 \cdot x^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

단계 7.5.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8 \cdot x^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

단계 7.5.7

$\cos (x)$ 와 $\frac{8 x^{2}}{\sin^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (x) (8 x^{2})}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

단계 7.5.8

$\cos (x)$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$- \frac{8 \cdot \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cot (x) \sin (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

단계 7.5.9

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

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단계 7.5.9.1

괄호를 표시합니다.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} (\cot (x) \sin (x)) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

단계 7.5.9.2

$- 8 x^{2} \cot (x) \sin (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

단계 7.5.9.3

공약수로 약분합니다.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x \cos (x) \cot (x)$

단계 7.5.10

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 7.5.11

$16 x \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 7.5.11.1

$16$ 와 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + x \cos (x) \frac{16 \cos (x)}{\sin (x)}$

단계 7.5.11.2

$\frac{16 \cos (x)}{\sin (x)}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 \cos (x) x}{\sin (x)} \cos (x)$

단계 7.5.11.3

$\frac{16 \cos (x) x}{\sin (x)}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 \cos (x) x \cos (x)}{\sin (x)}$

단계 7.5.11.4

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

단계 7.5.11.5

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)}$

단계 7.5.11.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

단계 7.5.11.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin^{2} (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

단계 7.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.6.1

$\sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{8 \cos (x) x^{2}}{\sin (x) \sin (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

단계 7.6.2

분수를 나눕니다.

$- (\frac{8 x^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

단계 7.6.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{8 x^{2}}{\sin (x)} \cot (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

단계 7.6.4

$\frac{8 x^{2}}{\sin (x)}$ 와 $\cot (x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{8 x^{2} \cot (x)}{\sin (x)} - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

단계 7.6.5

분수를 나눕니다.

$- (\frac{8 x^{2}}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\sin (x)}) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

단계 7.6.6

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- (\frac{8 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

단계 7.6.7

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- (\frac{8 x^{2}}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

단계 7.6.8

간단히 합니다.

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단계 7.6.8.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{8 x^{2}}{1} (\cot (x) \frac{1}{\sin (x)})) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

단계 7.6.8.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{8 x^{2}}{1} (\cot (x) \csc (x))) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

단계 7.6.9

$8 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (8 x^{2} (\cot (x) \csc (x))) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

단계 7.6.10

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 8 (x^{2} (\cot (x) \csc (x))) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

단계 7.6.11

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

단계 7.6.12

분수를 나눕니다.

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos (x))}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 7.6.13

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + \frac{16 x (\cos (x))}{1} \cot (x)$

단계 7.6.14

$16 x (\cos (x))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 8 x^{2} (\cot (x) \csc (x)) - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x (\cos (x)) \cot (x)$

$- 8 x^{2} \cot (x) \csc (x) - 8 x^{2} \cos (x) + 16 x (\cos (x)) \cot (x)$