미적분 예제

$y = \cos (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

단계 1

$f (x) = \cos (8 x)$ , $g (x) = \ln (\cos^{2} (8 x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (8 x) \frac{d}{d x} [\ln (\cos^{2} (8 x))] + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \cos^{2} (8 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos^{2} (8 x)$ 로 바꿉니다.

$\cos (8 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\cos (8 x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos^{2} (8 x)$ 로 바꿉니다.

$\cos (8 x) (\frac{1}{\cos^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 3

$\frac{1}{\cos^{2} (8 x)}$ 을 $\sec^{2} (8 x)$ 로 변환합니다.

$\cos (8 x) (\sec^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (8 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\cos (8 x)$ 로 바꿉니다.

$\cos (8 x) \sec^{2} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (8 x) \sec^{2} (8 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $\cos (8 x)$ 로 바꿉니다.

$\cos (8 x) \sec^{2} (8 x) (2 \cos (8 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 5

$\cos (8 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sec^{2} (8 x) (2 (\cos^{1} (8 x) \cos (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 6

$\cos (8 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sec^{2} (8 x) (2 (\cos^{1} (8 x) \cos^{1} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\sec^{2} (8 x) (2 {\cos (8 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 8

식을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sec^{2} (8 x) (2 \cos^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 8.2

$\sec^{2} (8 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 9

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 8 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 9.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $8 x$ 로 바꿉니다.

$2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 9.2

$\cos (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{3})$ 입니다.

$2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 9.3

$u_{3}$ 를 모두 $8 x$ 로 바꿉니다.

$2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 10

미분합니다.

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단계 10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (\sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 10.2

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 10.3

$8$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x] + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 10.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) \cdot 1 + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 10.5

$- 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

단계 11

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 8 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 11.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{4}$ 를 $8 x$ 로 바꿉니다.

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [8 x])$

단계 11.2

$\cos (u_{4})$ 를 $u_{4}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{4})$ 입니다.

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [8 x])$

단계 11.3

$u_{4}$ 를 모두 $8 x$ 로 바꿉니다.

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

단계 12

미분합니다.

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단계 12.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 12.2

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- 8 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 12.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- 8 \sin (8 x) \cdot 1)$

단계 12.4

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- 8 \sin (8 x))$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

항을 다시 정렬합니다.

$- 16 \cos^{2} (8 x) \sec^{2} (8 x) \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

단계 13.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.2.1

$\sec (8 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- 16 \cos^{2} (8 x) {(\frac{1}{\cos (8 x)})}^{2} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

단계 13.2.2

$\frac{1}{\cos (8 x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 16 \cos^{2} (8 x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (8 x)} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

단계 13.2.3

$\cos^{2} (8 x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.2.3.1

$- 16 \cos^{2} (8 x)$ 에서 $\cos^{2} (8 x)$ 를 인수분해합니다.

$\cos^{2} (8 x) \cdot - 16 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (8 x)} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

단계 13.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$\cos^{2} (8 x) \cdot - 16 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (8 x)} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

단계 13.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$- 16 \cdot 1^{2} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

단계 13.2.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 16 \cdot 1 \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

단계 13.2.5

$- 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 16 \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$