미적분 예제

$y = \cos (\frac{x}{x - 1})$

단계 1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \frac{x}{x - 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{x - 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

단계 1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{x - 1}$ 로 바꿉니다.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.6

항을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.6.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.6.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.4.1

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.6.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) (- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}})$

단계 3.6.4.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.6.4.4

$\sin (\frac{x}{x - 1})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 3.6.5

$\sin (\frac{x}{x - 1})$ 와 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (\frac{x}{x - 1})}{{(x - 1)}^{2}}$