미적분 예제

$y = \cos (a^{8} + x^{8})$

단계 1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = a^{8} + x^{8}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $a^{8} + x^{8}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a^{8} + x^{8}]$

단계 1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [a^{8} + x^{8}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $a^{8} + x^{8}$ 로 바꿉니다.

$- \sin (a^{8} + x^{8}) \frac{d}{d x} [a^{8} + x^{8}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $a^{8} + x^{8}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [a^{8}] + \frac{d}{d x} [x^{8}]$ 가 됩니다.

$- \sin (a^{8} + x^{8}) (\frac{d}{d x} [a^{8}] + \frac{d}{d x} [x^{8}])$

단계 2.2

$a^{8}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $a^{8}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $a^{8}$ 입니다.

$- \sin (a^{8} + x^{8}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{8}])$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{8}]$ 에 더합니다.

$- \sin (a^{8} + x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

단계 2.4

$n = 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (a^{8} + x^{8}) (8 x^{7})$

단계 2.5

식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 8 \sin (a^{8} + x^{8}) x^{7}$

단계 2.5.2

$- 8 \sin (a^{8} + x^{8}) x^{7}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 8 x^{7} \sin (a^{8} + x^{8})$