미적분 예제

$y = \cos (\frac{x - 1}{x + 1})$

단계 1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

단계 1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 로 바꿉니다.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

단계 2

$f (x) = x - 1$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.4.2

$x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.5

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.8

분수를 통분합니다.

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단계 3.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sin (\frac{x - 1}{x + 1}) \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.8.3

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ 와 $\sin (\frac{x - 1}{x + 1})$ 을 묶습니다.

$- \frac{(x + 1 - (x - 1)) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{(x + 1 - x - - 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$x + 1 - x - - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.2.1.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$- \frac{(0 + 1 - - 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.2.1.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{(1 - - 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.2.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{(1 + 1) \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4.2.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{2 \sin (\frac{x - 1}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$