미적분 예제

$y = \arctan (\frac{e^{2 x}}{3})$

단계 1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{e^{2 x}}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{e^{2 x}}{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

단계 1.2

$\arctan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{e^{2 x}}{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

단계 2

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{e^{2 x}}{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

단계 2.2

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$e^{2 x}$ 와 $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 4.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$2$ 와 $\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \cdot 1$

단계 4.5

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{e^{2 x}}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}})}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

단계 5.3

항을 묶습니다.

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단계 5.3.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

단계 5.3.2

${(e^{2 x})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{2 x \cdot 2}}{3^{2}}}$

단계 5.3.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{3^{2}}}$

단계 5.3.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{9}}$

단계 5.3.4

$3$ 와 $\frac{e^{4 x}}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{9}}$

단계 5.3.5

$3$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.5.1

$3 e^{4 x}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 (e^{4 x})}{9}}$

단계 5.3.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.5.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

단계 5.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

단계 5.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{e^{4 x}}{3}}$

단계 5.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

단계 5.4.2

$3$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

단계 5.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3 + e^{4 x}}{3}}$

단계 5.4.4

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{9 + e^{4 x}}{3}}$

단계 5.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$

단계 5.6

$2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$ 을 곱합니다.

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단계 5.6.1

$\frac{3}{9 + e^{4 x}}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \cdot 2}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

단계 5.6.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

단계 5.6.3

$\frac{6}{9 + e^{4 x}}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 e^{2 x}}{9 + e^{4 x}}$