미적분 예제

$y = \arctan (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\arctan (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{x}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

단계 2.1.2

$\arctan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

단계 2.2

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

단계 2.4

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \cdot \frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

단계 2.5

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{4})}^{2}) \cdot 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

단계 2.6

$1 + {(\frac{x}{4})}^{2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$ 입니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$

단계 3.2

$\frac{1}{x^{2} + 16}$ 을 ${(x^{2} + 16)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{- 1}]$

단계 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2} + 16$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2} + 16$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

단계 3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

단계 3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2} + 16$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]))$

단계 3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [16]))$

단계 3.6

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + 0))$

단계 3.7

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x))$

단계 3.8

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- 2 {(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

단계 3.9

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + 2 (\frac{1}{2}) ({(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

단계 3.10

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2}{2} ({(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

단계 3.11

${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2}{2} x$

단계 3.12

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2 x}{2}$

단계 3.13

${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 \cdot {(x^{2} + 16)}^{- 2} x}{2}$

단계 3.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 3.15

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.15.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 3.15.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{x}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4 (1 + \frac{x^{2}}{4^{2}})} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4 \cdot 1 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 4.3.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 4.3.3

$4$ 와 $\frac{x^{2}}{16}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 4.3.4

$4$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.1

$4 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4 + \frac{4 (x^{2})}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 4.3.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.4.2.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 4.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 4.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 4.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} \cdot \frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

단계 4.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} \cdot \frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

단계 4.3.7

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.3.7.1

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ 에 $\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

단계 4.3.7.2

$\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 에 $\frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$

단계 4.3.7.3

$(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})} + \frac{x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$

단계 4.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} + x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$